Paljud kõrgemas matemaatikas kõrgemas eas õppivad õpilased mõtlesid ilmselt: kus diferentsiaalvõrrandeid (DE) praktikas rakendatakse? Reeglina seda küsimust loengutes ei arutata ja õpetajad lähevad kohe DE lahendamisele, selgitamata õpilastele diferentsiaalvõrrandite rakendamist reaalses elus. Püüame selle tühimiku täita.
Alustame diferentsiaalvõrrandi määratlemisega. Niisiis, diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis seob funktsiooni tuletise väärtuse funktsiooni enda, sõltumatu muutuja väärtuste ja mõningate arvude (parameetritega).
Kõige tavalisem ala, kus diferentsiaalvõrrandeid rakendatakse, on loodusnähtuste matemaatiline kirjeldus. Neid kasutatakse ka probleemide lahendamisel, kus mõne protsessi kirjeldava väärtuse vahel ei ole võimalik otsest seost luua. Sellised probleemid tekivad bioloogias, füüsikas, majanduses.
Bioloogias:
Esimene tähenduslik matemaatiline mudel, mis kirjeldas bioloogilisi kooslusi, oli Lotka - Volterra mudel. See kirjeldab kahe vastastikmõjus oleva liigi populatsiooni. Neist esimene, keda nimetatakse kiskjateks, sureb teise puudumisel seaduse järgi välja x ′ = –ax (a> 0) ja teine - saak - korrutab kiskjate puudumisel seaduse järgi lõpmatuseni. Malthuse kohta. Nende kahe tüübi koostoime modelleeritakse järgmiselt. Ohvrid surevad välja kiirusega, mis võrdub kiskjate ja saakloomade kohtumiste arvuga, mis eeldatakse selles mudelis olevat võrdeline mõlema populatsiooni suurusega, st võrdne dxy-ga (d> 0). Seetõttu on y '= dxy. Kiskjad paljunevad söödud saakloomade arvuga proportsionaalselt: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Võrrandisüsteem
x ′ = –ax + cxy, (1)
y '= by - dxy, (2)
sellist populatsiooni kirjeldavat kiskjat-saaki nimetatakse Lotka-Volterra süsteemiks (või mudeliks).
Füüsikas:
Newtoni teise seaduse saab kirjutada diferentsiaalvõrrandi kujul
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), kus m on keha mass, x on selle koordinaat, F (x, t) on kehale koordinaadiga x mõjuv jõud ajahetkel t. Selle lahendus on keha trajektoor määratud jõu toimel.
Majanduses:
Toodangu loomuliku kasvu mudel
Eeldame, et mõnda toodet müüakse fikseeritud hinnaga P. Olgu Q (t) tähistatud ajahetkel t müüdud toodete kogust; siis sel hetkel on sissetulek võrdne PQ (t). Olgu osa määratud sissetulekust kulutatud investeeringutele müüdud toodete tootmisse, s.t.
I (t) = mPQ (t), (1)
kus m on investeerimismäär - konstantne arv ja 0
